利用目的をできる限り特定とはどの程度特定すれば問題ないですか？

本人が自己の個人情報がどう扱われるかを「本人が一般的かつ合理的に予測できる程度」に特定する必要があります。
良い例：「○○事業における商品の発送、関連するアフターサービス、新商品・サービスに関する情報のお知らせのため」
悪い例：お客様サービス向上のため、マーケティングに使用するため